[Algorithm] 36강 : 위상정렬 알고리즘의 정의와 구현

위상정렬

1.1 위상정렬 이란?

• 사이클이 없는 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것을 의미

 

1.2 진입 차수 / 진출 차수

• 진입차수(Indegree) : 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수
• 진출차수(Outdegree) : 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수

 

1.3 위상 정렬 알고리즘 동작과정

• 큐를 이용하는 위상 정렬 알고리즘의 동작 과정은 다음과 같다

1. 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다.
2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다
   1. 큐에서 원소를 꺼내 해당노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거한다
   2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

결과적으로 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 같다.

 

 

이 과정을 계속해서 반복한다. 또한, 같이 0 이되는 노드가 있을경우 올림차수로 진행된다.

 

이렇게 반복한 결과는 위와같이 되고 큐에 삽입된 전체 노드의 순서는 위와 같이 된다.

 

1.4 위상 정렬의 특징

• 위상 정렬은 DAG에 대해서만 수행할 수 있다.
  • DAG(Direct Acyclic Graph): 순환하지 않는 방향 그래프
• 위상정렬에서는 여러가지 답이 존재할 수 있다.
  • 한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우가 있다면 여러 가지 답이 존재한다
• 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다.
  • 사이클에 포함된 원소 주에에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못한다
• 스택을 활용한 DFS를 이용해 위상 정렬을 수행할 수도 있다.

 

1.5 위상 정렬 알고리즘 구현

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력받기
v, e = map(int, input().split())

# 모든 노드에 대한 집입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)

# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b)  # 정점 A에서 B로 이동 가능

    # 진입 차수를 1증가
    indegree[b] += 1


# 위상정렬함수
def topology_sort():
    result = []  # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque()  # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입

    for i in range(1, v + 1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)
    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)

        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)
    for i in result:
        print(i, end=' ')
topology_sort()

 

 

1.6. 위상 정렬 알고리즘 성능분석

• 위상 정렬을 위해 차례대로 모든 노드를 확인하며 각 노드에서 나가는 간선을 차례대로 제거해야 한다.
  • 위상 정렬 알고리즘의 시간 복잡도는 O(V+E)이다.

 

 

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이 자료는 동빈 나 님의 이코 테 유튜브 영상을 보고 정리한 자료입니다.

참고 : www.youtube.com/watch?v=m-9pAwq1o3w&list=PLRx0vPvlEmdAghTr5mXQxGpHjWqSz0dgC