[Algorithm] 31강 : 플로이드 워셜 알고리즘의 정의와 구현

플로이드 워셜 알고리즘

1.1 플로이드 워셜 알고리즘이란?

• 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산
• 플로이드 워셜 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 겨처 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행
  • 다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지 않는다
• 플로이드 워셜은 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장
• 다이나믹 프로그래밍 유형에 속한다

 

 

1.2플로이드 워셜 알고리즘 점화식

• 각 단계마다 특정한 노드 k를 거쳐 가는 경우를 확인
  • a에서 b로 가는 최단 거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사

 

 

1.3 동작과정

초기 상태로 해당 테이블이 만들어지고 경로에 대해 만들어진다.

 

 

이 과정을 모든 노드에 적용하여 한다. 

 

 

1.4 알고리즘 구현

INF = int(1e9)  # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력 받기

n = int(input())
m = int(input())

# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 무한 으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0 으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A 에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k], graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if graph[a][b] == INF:
            print("INFINITY", end=" ")
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()

 

 

1.5 플로이드 워셜 알고리즘 성능 분석

• 노드의 개수가 N개일 때 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행
  • 각 단계마다 O(N제곱)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐가는 모든 경로를 고려
• 따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총 시간 복잡도는 O(N세제곱)이다.

 

 

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이 자료는 동빈 나 님의 이코 테 유튜브 영상을 보고 정리한 자료입니다.

참고 : www.youtube.com/watch?v=m-9pAwq1o3w&list=PLRx0vPvlEmdAghTr5mXQxGpHjWqSz0dgC